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Mathe-Experten, bitte klärt mich auf!

Marcel_75@work
Marcel_75@work22.02.0718:53
Habe eine kurze Powerpoint-Präsentation bekommen, in der u.a. dieses "Phänomen" zu sehen war (siehe Bild).

Wie kann es sein, dass die Summe der Einzelteile nicht der Grundfläche entspricht?

Ich komme hier auf 32,5 Quadratcentimeter Gesamtfläche. Aber die Summer der Einzelteile oben entspricht 32 Quadratcentimeter. Und unten gar 33?

Wo ist mein Denkfehler?

Danke für Eure Hilfe + Beste Grüße,
Marcel
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Kommentare

Tip
Tip22.02.0719:06
lege mal an die Schräge Linie ein Lineal ran.
Die Linie ist nicht gerade.
Die obige Figur hat nen Knick nach innen.
Die untere nach außen. Das ist der Flächeninhalt des
kleinen weißen Quadrats...
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pünktchen
pünktchen22.02.0719:09
oh man, ich wusste das doch mal. weg ist es.
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Tip
Tip22.02.0719:10
hier grafisch
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pünktchen
pünktchen22.02.0719:14
genau. mir ist gerade aufgefallen, dass sich die schnittpunkte des braunen dreieick mit der neunten kästchenreihe nicht decken. der rest natürlich auch nicht.
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pünktchen
pünktchen22.02.0719:14
also bevor tip das erklärt hat!
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Marcel_75@work
Marcel_75@work22.02.0719:26
Ok, das mit der Schräge mag sein ... ABER:

Wenn wir uns nur mal das obere Dreieck vornehmen, dann errechne ich eine Fläche von 32,5 Quadratcentimeter (5x13 / 2).

Wenn man dann aber die vier Einzelteile berechnet, also:

1. braunes Dreieck = 3x8 / 2 = 12 Quadratcentimeter

2. grünes Dreieck = 2x5 / 2 = 5 Quadratcentimeter

3. + 4. gelbes + grünes "Teil" = 3x5 = 15 Quadratcentimeter

und diese vier Einzelteile addiert, ergibt das nur 32 Quadratcentimeter.

Also wie kann DAS sein?

Danke für weitere Tipps!
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pünktchen
pünktchen22.02.0719:42
ja nu, wenn die lange seite keine gerade ist, stimmt deine flächenberechnung nunmal nicht, weil es sich nicht um ein dreieck handelt. die summe der einzelteile stimmt zwar auch nicht, weil es sich dort auch nicht um dreiecke handelt, aber sie ist wenigstens eine bessere näherung an die tatsächliche fläche.
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Marcel_75@work
Marcel_75@work22.02.0720:02
pünktchen: Ok, schon klar, aber meine Berechnung geht ja nunmal davon aus, dass es ein "echtes" Dreieck ist (also das gesamte, aus vier Einzelteilen zusammengesetzte). Und aus diesem "echten" Dreieck sind dann auch die vier Einzelteile abgeleitet.

Deshalb nach wie vor meine Frage: wie kann es sein, dass sich da zwei unterschiedliche Werte ergeben (32,5 vs. 32).

Bitte noch einmal ganz genau meinem Beispiel von 18:26 folgen, vielen Dank für Eure Geduld.
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pünktchen
pünktchen22.02.0720:16
deine einzelteile sind eben nicht aus dem imaginären echten dreieck abgeleitet, sondern aus dem mit der krummen längsseite. das braune dreieck wäre haöt nicht 3 kästchen hoch, sondern 3,x. und das grüne nicht 5, sondern 5,x lang. und beide würde nicht mehr zusammen in das große dreieck passen. in tips grafik ist das doch schön zu sehen.
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iKev
iKev22.02.0720:16
den .... mussten wir mal in GZ machn
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Marcel_75@work
Marcel_75@work22.02.0720:36
pünktchen: Vergiss bitte mal die Zeichnung und orientiere Dich ausschließlich an meiner Beispielrechnung:

Wenn wir uns nur mal das obere Dreieck vornehmen, dann errechne ich eine Fläche von 32,5 Quadratcentimeter (5x13 / 2).

Wenn man dann aber die vier Einzelteile berechnet, also:

1. braunes Dreieck = 3x8 / 2 = 12 Quadratcentimeter

2. grünes Dreieck = 2x5 / 2 = 5 Quadratcentimeter

3. + 4. gelbes + grünes "Teil" = 3x5 = 15 Quadratcentimeter

und diese vier Einzelteile addiert, ergibt das nur 32 Quadratcentimeter.

Wo ist denn bei diesem Beispiel der Fehler? Das verstehe ich eben nicht ...

Nach wie vor Danke für Eure Geduld ...
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pünktchen
pünktchen22.02.0720:47
ganz einfach: aus den vier einzelteilen kannst du nicht ein rechtwinkliges dreieck dieser größe zusammensetzen. es bleibt ein langgezogenes dreieck mit 0,5 cm2 inhalt frei, du hast dann ein viereck.
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Marcel_75@work
Marcel_75@work22.02.0721:21
Ok, gebongt ... Danke
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derSuperuser22.02.0721:41
das ist doch schon soooo alt.
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Ties-Malte
Ties-Malte23.02.0701:43
pünktchen
das braune dreieck wäre haöt nicht 3 kästchen hoch, sondern 3,x. und das grüne nicht 5, sondern 5,x lang. und beide würde nicht mehr zusammen in das große dreieck passen.

Beule und Delle, bzw.: Die beiden braunen und die beiden grünen Teildreiecke sind nicht zueinander ähnlich: Wenn man am braunen und am grünen Teildreieck das Verhältnis der beiden Katheten betrachtet, dann ergibt sich im braunen Fall 3:8=0,375 und im grünen Fall 2:5=0,4. Daraus folgt: Die Hypothenusen der beiden Teildreiecke sind nicht zueinander parallel, sondern (wenn auch nur wenig) unterschiedlich steil, gerade ausreichend, um das Auge zu täuschen.
„The early bird catches the worm, but the second mouse gets the cheese.“
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pünktchen
pünktchen23.02.0711:40
ties-malte: ja, so kann man das auch erklären - wenn man sich denn daran erinnert, was kathete und was hypothenuse ist.
aber wiederspricht das dem, was du von mir zitierst?
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pünktchen
pünktchen23.02.0711:41
ähem, "widerspricht".
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Marcel_75@work
Marcel_75@work23.02.0713:09
Nein pünktchen, das widerspricht Deinen Ausführungen natürlich nicht, aber das Verhältnis der Katheten bzw. daraus folgend der Hypothenusen erklärt es noch mal zusätzlich gut nachvollziehbar. Danke Ties-Malte!
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Marcel_75@work
Marcel_75@work23.02.0715:53
Und aus den Katheten und Hypothenusen lassen sich natürlich auch wunderbar die Winkel ableiten. Anbei noch einmal eine Skizze, die dies schön verdeutlicht.

Danke Euch allen und ein angenehmes Wochenende,
Marcel
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Ties-Malte
Ties-Malte23.02.0716:25
Jepp, war natürlich nur als Ergänzung gemeint, nicht als Erwiderung.

Marcel_75@work
…lassen sich natürlich auch wunderbar die Winkel ableiten.

Genau. Und natürlich kannst du auch die weiße Restfläche berechnen.
„The early bird catches the worm, but the second mouse gets the cheese.“
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