Wenn ich mich per Teamviewer einlogge und etwas funktioniert nicht, weil vermutlich etwas auf der Tastatur oder Maus liegt. Wie kann ich dies softwareseitig prüfen?

Dazu musst du auf dem Rechner ein Script ausführen das den Status von Tastatur und Maus abfragt.
Nicht unbedingt trivial, aber auch nicht unmöglich.

Wenn es um die Tastatur geht- kannst du dir die OS eigene onscreen Tastatur über die MenuLeiste ansehen, wenn eine Taste gedrückt wird, wird das dort angezeigt

Evtl keycastr installieren, das visualisiert neben Tastatureingaben auch Mausklicks