Bei mir wird es in den Favoriten nicht mehr angezeigt, egal, was ich mache.

hier wird es angezeigt.. keine Probleme... Safari 13.0.4 (15608.4.9.1.3)

Hier gehts auch normal.

Aktiviere mal den Entwicklermodus in Safari und lösche die Caches unter Entwickler/Cache-Speicher leeren.. Eventl. hängt dort etwas.

Genau das hatte ich gemacht, aber während andere Seiten das Favicon rekonstruieren bei Aufruf, will das bei MTN nicht klappen.

Dass Safari 13 nach Löschen des Cache zögert (oder zögerte), die Fav-Icons herauszusuchen, war mir auch schon aufgefallen. MTN war davon nicht betroffen, jedoch mehrere andere Web-Sites. Mit Safari 13.0.3 auf Mojave beobachte ich das jedoch nicht mehr.

Tja, bei mir nach wie vor. Hab vergessen zu erwähnen: Safari 13.0.3 unter Catalina.

das ist teilweise seit mehreren Jahren zu beobachten... aktuell habe ich das bei High Sierra und deren aktueller Version... eine Zeit lang war es sogar so das die Links auch nicht richtig funktionierten und andere Seiten geöffnet wurden.. komischerweise nir unter OSX nicht aber unter ios

Nicht lange rumprobieren, das gibt es teilweise bei anderen Browsern auch, wenn das Icon in einem Folder liegt. Einfach Bookmark löschen, bzw neu erstellen und dann das Alte löschen. Manchmal ergibt sich hier auch der Effekt, das wenn man das neue Bookmark in den Folder zieht (erst auf die Leiste, dann in den Unterordner) sich plötzlich das alte Icon doch updated.

Das hat es gebracht. Danke!
Einfach die URL aus der Titelleiste in den Ordner ziehen. Dann hatte der neue Favorit das Icon.
Habe den alten Favoriten dann gelöscht und den neuen an dessen Platz verschoben.
Das funktioniert, auch wenn es seltsam ist.

PS: Klappt auch bei anderen Webseiten ohne Favicon.
Hat sogar auf merkwürdige Weise andere Favicons repariert, obwohl ich die garnicht angetoucht habe.

Um welche Icons ging es hier eigentlich?
Die Icons der Favoriten auf der Startseite (falls Safari so konfiguriert sind, dass sie dort dargestellt werden)?. Apple bezeichnet sie als "Touch Icons".
Oder um die wirklichen Favicons, also jene Icons, die den Einträgen der Menüliste der Favoriten im Menü Bookmarks vorangestellt sind?

wie im startposting beschrieben und in antwort #6 von piik nochmals mit screenshot gezeigt, geht bzw ging es um die favicons in den bookmarks, nicht um die icons der „meist besuchten webseites“ auf der safari-startseite.

Favicons. Siehe Screenshot weite unten..