Ist es möglich den Privat modus beim Webbrowser (Firefox oder Safari) permanent zu deaktivieren?

Ja, einfach nicht einschalten.

Oder geht es Dir darum, das ein Familienmitglied o.ä. nicht durch Nutzung des Privaten Modus versucht seine Internetaktivität vor Dir zu verschleiern?

Du bist ein Fuchs....mir geht es darum, dass "o.ä." nicht das Internet für privates surfen nutzt und anschliessend vor mir verschleiert

Da helfen Firewall/Proxy Logs und eine schriftliche Nutzungsvereinbarung.

Das geht auch ohne Privates Surfen.
Es gibt Buttons um den Verlauf zu löschen, bzw. kann man einzelne Seiten aus dem Verlauf von Hand entfernen.

Onicons Antwort ist die Einzige die Dir hilft unerlaubte Nutzung festzustellen.
Alternativ kannst Du auch eine Firewall nutzen um eine Whitelist anzulegen für Webseiten die erlaubt sind.

Danke erst einmal. Nutzungseinschränkungen über white list/ black list wollte ich vermeiden. Das man schnell den Verlauf löschen kann ist mir klar, dann weiss ich aber auch dass er gelöscht wurde. Mir geht es einfach darum, dass die Hemmschwelle für das private surfen wieder etwas steigt.