Gebe ich bei Einstellungen Accounts
einen iMessage-Account an und gebe da meine Apple-ID + PW ein,
erscheint nach eineigem Rödeln ddie meldung vom Screenshot.
Von einen frischen Test-Account unter OS X kann ich mich
aber problemlos bei Nachrichten per iMessage-Account anmelden.
Was könnte das Problem sein?
Die …/hosts Datei habe ich angeschaut, sie ist ummodifiziert.

Einfach mal alle Preferences von iMessage aus /Library/Preferences entfernen. Normalerweise läuft es danach wieder.

Und welche wären das?
Aus dem User/Library oder System/Library ?

~/Library ist für einen bestimmten User, /Library hingegen ist für systemweite Belange wie z.B. Netzwerkeinstellungen, also für Dinge, die für alle User sind. /System/Library ist ausschließlich für das Betriebsystem und seine eigenen Belange reserviert.

Daher ist das hier Dein Ordner der Wahl: ~/Library//Preferences
(Die Tilde ~ steht für den aktuellen Benutzer)

Ja, danke
Doch welche Files sind es?

Wenn Du imessage in das Suchfeld des Fensters eingibst während Du im Preferences-Ordner bist, und die Suche auf diesen Ordner einschränkst, dann werden Dir drei mögliche Dateien angezeigt.

Dann beendest Du iMessage, ziehst Dir die Dateien auf den Desktop und startest es erneut.

Little Snitch installiert? Bei meinem Sohn hat es erst funktioniert nachdem ich Little Snitch deaktiviert hatte.

Nein, Little-Snitch ist nichtd as Problem, ob mit oder ohne.

Es waren drei Dateien. Zwei Davon wurden beim Einlogversuch neu angelegt.
Er scheiterte aber trotzdem.