Meine Tochter hat sich ein neues iPhone 16 gegönnt mit neuer SIM und neuer Nummer. Sie hat die Migration vom alten iPhone durchgeführt. Ich hab ihre neue Nummer bei mir in den Kontakten abgespeichert. Aber nun werden mir ihre iMessages mit ihrer alten Nummer angezeigt - also nicht ihr Name sondern die alte Nummer als Absender.
Was kann ich tun?

Auf dem iPhone deiner Tochter in den Einstellungen von iMessages
Einstellungen > Apps > Nachrichten > Senden und Empfangen

Da wird durch das einspielen des Backup die alte Nummer noch drin stehen.

... die alte Nummer deiner Tochter, bei deinem Telefon, als Telefonnummer in ihrem Kontakt hinterlegen

Das hat mit dem Backup nicht unbedingt zu tun.
Sie hat ihre damalige Nummer für iMessage registriert. Diese Registrierung hängt an der Apple-ID.
Der von dir beschriebene Pfad ist korrekt. Da einfach den Haken vor der alten Nummer entfernen.

... und bei der neuen Nummer setzen, falls noch nicht vorhanden. Danach die neue Nummer als Standard setzen falls gewünscht.